Hướng dẫn cách giải phương trình bậc 2 & định lý Viet

Bạn đang cần hướng dẫn về cách giải phương trình bậc 2 cho học sinh lớp 8, 9? Hãy cùng theo dõi bài viết hôm nay của Chanh Tươi Review để tìm hiểu chi tiết nhé! Trong bài viết này, mình sẽ giới thiệu rõ về phương trình bậc 2, dạng toán và hướng dẫn giải các dạng bài tập nổi bật. Xem ngay!

Phương trình bậc 2 (phương trình bậc 2 một ẩn) là gì?

Phương trình bậc 2 (hay còn được gọi là phương trình bậc 2 một ẩn) là phương trình có dạng: ax²+bx+c=0 (điều kiện a≠0) (1).

Trong đó:

• a, b, c được gọi là các hệ số (a ≠ 0)
• x được gọi là ẩn

Việc đi giải phương trình bậc 2 chính là đi tìm tất cả các giá trị của x để thỏa mãn điều khiện khi thay x vào phương trình (1) thì ax²+bx+c=0.

Một số trường hợp của phương trình bậc 2 một ẩn:

Trường hợp 1: Khi ẩn số a = 0

• Lúc này phương trình sẽ trở về dạng phương trình bậc nhất 1 ẩn có dạng bx + c = 0
• Ta có nghiệm của phương trình:  x = -c/b

Trường hợp 2: Khi ẩn số b = 0

• Lúc này phương trình sẽ có dạng: ax² + c = 0
• Ta có nghiệm của phương trình: x = ±√(-c/a)

Trường hợp 3: Khi ẩn số c = 0

• Lúc này phương trình sẽ có dạng: ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0
• Ta có 2 nghiệm của phương trình: x = 0 và x = -b/a

Chi tiết cách giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

• Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
• Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép =>  x1 = x2 = -b/2a

• Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau: 

Phân tích thành nhân tử

• Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax² + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.
• Trở lại với phương trình (2), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1, x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh:

• Nếu a+b+c=0 thì x1 = 1, x2 = c/a
• Nếu a-b+c=0 thì x1 = -1, x2 = -c/a

Định lý Viet giải phương trình bậc 2

Cho phương trình bậc 2 một ẩn (1). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

• x1+x2=-b/a
• x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(b²-2ac)/a²

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0.

Ứng dụng định lý Viet giải trong phương trình bậc 2 một ẩn

• Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0), 
  • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
• Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
• Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax²+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:

• Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
• Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
  • P>0, hai nghiệm cùng dương.
  • P<0, hai nghiệm cùng âm.

Bài tập ví dụ giải phương trình bậc 2

Bài 1: Giải phương trình 4x² - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)² - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.

Bài 2: Giải phương trình 2x² - 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = (-7)² - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:

Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.3²-7.3+3=0.

Bài 4: Giải phương trình 3x² + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 2² - 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Bài 5: Giải phương trình x² – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)² - 4.4.1 = 0 => phương trình (5) có nghiệm kép:

Thực ra nếu nhanh ý, bạn cũng có thể nhìn ra đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 nên dễ dàng viết lại (5) thành (x-2)² = 0 <=> x=2.

Bài 6: Giải phương trình 4x^4-3²-1=0 (6) Phương trình đưa về dạng bậc 2

Phương trình trùng phương: ax^4+bx²+c=0 (a≠0):

• Bước 1: Đặt t=x² (t≥0).
• Bước 2: Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
• Bước 3: Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Chú ý: phương pháp đặt  t=x² (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x²+x, t=x²-1…

Giải phương trình (6):

• Đặt t=x² (t≥0), lúc này phương trình trở thành:
• 4t²-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼
• t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0
• Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

Xem thêm các vấn đề liên quan trong toán học khác:

• Số thập phân là gì? Cấu tạo và cách đọc số thập phân?
• Cách tính phần trăm như thế nào? Cách tính trong Excel?

Hy vọng những chia sẻ vừa rồi đã giúp bạn có thể hiểu và thực hiện các bài tập về cách giải phương trình bậc 2 một ẩn một cách dễ dàng và chính xác nhé!