Số thực là gì? Bao gồm những số nào? Các dạng toán số thực?

Số thực là khái niệm toán học cơ bản và phổ biến. Vậy số thực là gì? số thực là những số nào? Ký hiệu của số thực và những ví dụ thực tế? Trong bài viết hôm nay, Chanh Tươi Review sẽ trình bày thông tin chi tiết về khái niệm này. Bạn cùng theo dõi nhé!

Tìm hiểu số thực là gì và ví dụ

Những thông tin dưới đây về số thực là gì, các đặc điểm và ví dụ của số thực sẽ giúp bạn nắm rõ chi tiết về khái niệm toán học này!

Số thực là gì?

Khái niệm về số thực xuất phát từ thế kỷ 17, khi nhà toán học người Pháp Rene Descartes đưa ra khái niệm đầu tiên để phân biệt giữa giá trị nghiệm thực và giá trị nghiệm ảo của đa thức. Mặc dù ông đã đưa ra khái niệm này, nhưng đến năm 1871, nhà toán học khác là Georg Cantor mới công bố khái niệm số thực chính xác nhất. Cho đến ngày nay, chúng ta vẫn sử dụng khái niệm số thực này.

Số thực là loại số được định nghĩa dựa trên tính chất của chính nó, và tập hợp các số thực được tạo thành từ sự kết hợp giữa tập hợp các số vô tỉ và tập hợp các số hữu tỉ. Các số thực có thể là đại số hoặc siêu việt, và tập hợp số thực được đối chiếu với tập hợp số phức. Mặc dù không có định nghĩa chính thức, số thực thường được mô tả theo nhiều cách khác nhau và bao gồm cả số dương, số 0 và số âm.

Trong toán học, số thực là giá trị của một đại lượng liên tục và được biểu thị bằng một khoảng trên đường thẳng số thực. Khái niệm này đã được giới thiệu bởi Rene Descartes vào thế kỷ 17 để phân biệt giữa nghiệm thực và ảo của đa thức.

Số thực, tiếng Anh là Real numbers là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3), số 0, số âm (-1,-2,-3), số hữu tỉ (5/2, -23/45), số vô tỉ (số pi, số √ 2).

Số thực kí hiệu là gì?

Tập hợp các số thực được ký hiệu là R.

Số thực là những số nào? Ví dụ số thực?

Tập hợp số thực R bao gồm cả số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Do đó, nó được coi là tập hợp số lớn nhất.

Mọi số thực, trừ số 0 ở trung tâm trục số, đều có thể là số âm hoặc dương. Tính chất này đặc trưng cho sự đa dạng của tập hợp số thực. Tuy tập hợp này là vô hạn, nhưng vì quy mô của nó rất lớn, số lượng các số thực trong tập hợp này là không thể đếm được.

Tóm lại, tập hợp số thực R sẽ bao gồm:

• Tâp hợp các số tự nhiên (kí hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số nguyên (kí hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là Q): Q = {x = a/b; với điều kiện là số a,b ϵ Z, và b ≠0}
• Tập hợp các số vô tỉ (kí hiệu là I): I ={số thập phân vô hạn không có tuần hoàn, ví dụ số pi, các số căn như √2, √3,…}

Trục số thực là gì?

Với mỗi số thực đều có thể được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trực số đều đang biểu diễn một số thực. Chỉ có tập hợp số thực R mới lấp đầy trực số.

Lưu ý rằng các phép toán trong tập hợp các số thực chia sẻ những tính chất tương tự như trong tập hợp số hữu tỉ. Điều này được biểu diễn qua sự liên kết giữa các tập hợp số nguyên (Z), số hữu tỉ (Q), và số thực (R), trong đó ta có Z ⊂ Q ⊂ R.

Tập hợp số thực đặt làm đối trọng với tập hợp số phức, bao gồm cả số ảo không thể biểu diễn trên trục số. Trong lĩnh vực này, số phức được gọi là số ảo và thường xuất hiện trong nhiều phương trình và bài toán không thể giải quyết trong trường số phức. Ví dụ như trong phương trình (x + 1) = -9 hoặc trong phép tính √-1 (căn bậc hai của -1 và các số âm khác).

Phân loại số thực

Số thực được phân loại thành hai loại chính: số thực dương và số thực âm.

• Số thực dương là tập hợp các số lớn hơn không (0). Nói cách khác, đây là những số mà khi đặt trên trục số, chúng nằm bên phải của số 0. Ví dụ: các số 2, 3, 10/3, 100,... đều thuộc vào tập hợp số thực dương, vì chúng đều nằm bên phải của số 0 trên trục số.
• Ngược lại, số thực âm là tập hợp các số nhỏ hơn 0. Trên trục số, những số này nằm bên trái của số 0. Ví dụ: -2, -3, -10/3, -100,... đều là các số thực âm, vì chúng đều nằm bên trái của số 0 trên trục số.
• Số thực có số 0 không? Có, 0 cũng là số thực ( 0 ⊂ N là số tự nhiên).

Các tính chất cơ bản của số thực

• Mọi số thực khác 0 đều có thể là số dương hoặc số âm. Khi thực hiện phép cộng hoặc nhân với hai số thực không âm, kết quả là một số thực không âm, tạo thành một vành số dương. Điều này giúp xác định một thứ tự tuyến tính của các số thực trên trục số.
• Tập hợp các số thực là vô hạn, có nhiều phần tử hơn so với bất kỳ tập hợp nào có thể đếm được.
• Số thực thường được biểu diễn dưới dạng biểu thức thập phân, có chuỗi chữ số vô hạn ở phía sau dấu thập phân (ví dụ: 324.832122147…). Dấu chấm lửng thể hiện sự vô hạn của chữ số.
• Mọi điểm trên trục số thực được phủ bởi dãy số thực, cho phép theo dõi tính liên tục của chúng. Quy luật tích hợp từ dãy số thực thường được áp dụng trong toán học và thực tế.
• Sự sắp xếp theo thứ tự của số thực cho phép so sánh và xếp hạng chúng dựa trên yêu cầu học tập hoặc công việc. Điều này là quan trọng để xây dựng hệ thống đo lường và chuẩn hóa đơn vị số.
• Phép cộng và nhân của số thực tuân theo tính kết hợp thông dụng. Điều này đồng nghĩa với việc phép cộng và nhân áp dụng trên số thực sẽ tạo thành hệ số.
• Khi sử dụng số thực trong phép chia và lũy thừa, cần lưu ý tính chất của phép chia (trừ khi chia cho 0) và tính chất của phép lũy thừa, bao gồm quy tắc cộng và nhân.

Thuộc tính của số thực

Số thực được xác định bởi hai thuộc tính cơ bản quan trọng:

• Thuộc tính cận trên thấp nhất: Đặc điểm này cho biết nếu tập hợp của các số thực không trống có giới hạn trên, thì tập hợp này sẽ có giá trị cận trên thấp nhất, tức là số thực nhỏ nhất trong tập hợp đó. Ví dụ, nếu ta xem xét tập hợp {1, 2, 3}, giới hạn trên của nó là 3, và do đó, cận trên thấp nhất là 3.
• Thuộc tính trường có thứ tự: Thuộc tính này mô tả khả năng sắp xếp các số thực trên trục số hoành sao cho thứ tự này tương thích với phép cộng và nhân. Nếu x và y là hai số thực bất kỳ, thì luôn có thể xác định được x < y, x = y, hoặc x > y. Điều này có nghĩa là các số thực tạo thành một trường có thứ tự, trong đó phép cộng, trừ, nhân và chia đều được thực hiện một cách tương thích với thứ tự này.

Một số thuộc tính khác của số thực R:

• Trên số thực, cả phép cộng và nhân đều kết hợp, không phụ thuộc vào cách nhóm các số lại. Phép nhân cũng phân phối qua phép cộng theo a * (b + c) = a * b + a * c.
• Trên số thực, mọi cặp số đều có thể so sánh, và dãy số thực liên tục có giới hạn nhất định, tiếp cận với độ chính xác mà ta chọn.
• Số thực chia thành rời rạc và liên tục. Số rời rạc có dãy số giới hạn, số liên tục không có dãy số giới hạn, mang đến ứng dụng và tiêu chuẩn khác nhau.

Các dạng bài tập thường gặp về số thực và hướng dẫn cách giải

Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số

Hướng dẫn giải: Lưu ý các ký hiệu về tập hợp số:

• N: Tập hợp các số tự nhiên
• Z: Tập hợp các số nguyên
• Q: Tập hợp các số hữu tỉ
• I: là tập hợp các số vô tỉ
• R: là tập hợp các số thực.

Ta có quan hệ giữa các tập hợp số như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.

Dạng 2: là tìm số chưa biết trong một đẳng thức

Hướng dẫn giải:

• Sử dụng từ tính chất của các phép toán
• Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Quan hệ giữa các thừa số trong một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.
• Sử dụng đến quy tắc chuyển vế, phá ngoặc.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức nào đó

Hướng dẫn giải:

• Thực hiện phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn cần chú ý đến thứ tự thực hiện.
• Rút gọn các phân số khi cần thiết
• Chú ý để vận dụng các tính chất của phép toán sao cho thích hợp.

Dạng 4: So sánh các số thực

Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, ta cần tuân theo những nguyên tắc sau đây:

• Với hai số thực x và y bất kỳ, ta có ba trường hợp: x = y, x < y, hoặc x > y.
• Các số thực lớn hơn 0 được gọi là số thực dương, và ngược lại, các số thực nhỏ hơn 0 được gọi là số thực âm.
• Số 0 không thuộc loại số thực dương và không phải là số thực âm.
• So sánh các số thực dương tương tự như so sánh các số hữu tỉ.
• Đối với hai số thực dương a và b, nếu a > b, thì √a > √b.

Những nguyên tắc này sẽ hỗ trợ trong việc giải quyết bài toán và xử lý các so sánh liên quan đến số thực và căn bậc hai của chúng.

Ví dụ: Cho các số thực sau: -11; 3, -1,5; 6; 6,5 . Hãy sắp xếp các số thực này theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Hướng dẫn giải: Sắp xếp các số thực trên theo thứ tự từ lớn đến nhỏ là: 6,5 > 6 > 3 > -1,5 > -10.

>>> Xem thêm: Hướng dẫn cách giải phương trình bậc 2 

Hy vọng những thông tin vừa rồi đã giúp bạn nắm rõ về số thực là gì và các tính chất, thuộc tính của nó!