Trọng tâm là gì? Trọng tâm của tam giác thường, vuông, cân...

Bạn đang tìm hiểu thông tin về trọng tâm là gì? Trọng tâm tam giác là gì? và các thông tin liên quan khác. Trong bài viết này, Chanh Tươi Review sẽ chia sẻ đến bạn kiến thức và những vấn đề quan trọng nhất. Đặc biệt, quy tắc trọng tâm trong các dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều,… vô cùng thú vị. Đón xem ngay!

Định nghĩa trọng tâm là gì?

Trọng tâm là gì?

Bạn đã biết trọng tâm là gì? Trọng tâm là điểm mà khi bạn đặt một trụ thẳng đứng vào đó, vật thể có khả năng giữ được cân bằng. Khái niệm này không chỉ được áp dụng trong ngữ cảnh vật lý, mà còn mở rộng sang cả các khía cạnh đời sống hàng ngày, có thể hiểu theo cả nghĩa đen và nghĩa bóng.

Trong mọi ngữ cảnh, trọng tâm đều là điểm trung tâm, tâm điểm quan trọng của một vật, một vấn đề. Trong lĩnh vực toán học, trọng tâm thường được sử dụng để mô tả vị trí trung tâm của các hình học, ví dụ như trọng tâm tam giác, trọng tâm hình chữ nhật, hay trọng tâm của tứ giác.

Định nghĩa trọng tâm theo từ điển

Danh từ trọng tâm có 3 ngữ nghĩa sau:

• (Vật lý học) Điểm đặt của trọng lực tác dụng vào một vật.
• (Toán học) Giao điểm của ba trung tuyến trong một tam giác.
• Điểm quan trọng nhất. Ví dụ: Đây là điều trọng tâm của vấn đề.

Trọng tâm tam giác là gì?

Vậy trong hình tam giác, điểm trọng tâm là gì? Trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến tương ứng.

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ví dụ: trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP xuất phát từ các đỉnh A, B, C và cắt nhau tại một điểm chung G.

Do đó, trọng tâm của tam giác ABC chính là điểm G, nơi ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp nhau.

Tam giác có bao nhiêu trọng tâm?

Tính chất trọng tâm tam giác

Tính chất quan trọng của trọng tâm hình tam giác: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Giả sử, tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, ta có:

• GA = 2/3 AM
• GB = 2/3 AN
• GC = 2/3 CP

Ngoài ra, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Xét theo khía cạnh, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.

• Đối với đường trung tuyến AM, ta có: AM = 3 GM; AM = 3/2 AG; AG = 2 GM; GM = 1/2 AG,…
• Đối với đường trung tuyến BN, ta có: BN = 3 GN; BN = 3/2 BG; BG = 2 GN; GN = 1/2 BG,…
• Đối với đường trung tuyến CP, ta có: CP = 3 GP; CP = 3/2 CG; CG = 2 GP; GP = 1/2 CG,…

Quy tắc trọng tâm tam giác theo vectơ

Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Áp dụng quy tắc trọng tâm tam giác:

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có: 

• (GA) ⃗+(GB) ⃗+(GC) ⃗=(0) ⃗
• (MA) ⃗+(MB) ⃗+(MC) ⃗= 3(MG) ⃗ với mọi điểm M bất kỳ.

Với từng dạng tam giác đặc biệt, tính chất trọng tâm của tam giác được biểu thị như sau:

1. Trọng tâm tam giác vuông

Giả sử tam giác ABC vuông tại A. 3 đường trung tuyến AD, BE, CF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có AD là trung tuyến của góc vuông CAB nên AD = 1/2 CB = DC = DB.

2. Trọng tâm tam giác cân

Giả sử tam giác ABC cân tại A, có O là trọng tâm. Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác.

Do vậy ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

• Góc BAD bằng góc CAD.
• Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

3. Trọng tâm tam giác vuông cân

Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A và O là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên ta suy ra:

• AB = AC => BP = CN và BN = AN = CP = AP.

4. Trọng tâm tam giác đều

Giả sử cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

5. Trọng tâm tam giác tứ diện

• Ta có G là trọng tâm tứ diện ABCD.
• Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.

Cách xác định trọng tâm tam giác

Có hai cách chính để xác định trọng tâm của tam giác ABC, dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến.

• Bước 1: Vẽ tam giác ABC và xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
• Bước 2: Nối các đỉnh A, B, C với trung điểm tương ứng, tạo ra ba đường trung tuyến AG, BF, CE.
• Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

Cách 2: Sử dụng tính chất về tỉ lệ trên đường trung tuyến.

• Bước 1: Vẽ tam giác ABC và xác định trung điểm M của cạnh BC.
• Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm của tam giác, điểm S chính là trọng tâm của tam giác ABC.

Công thức tính trọng tâm tam giác

Công thức tính chiều dài đường trọng tâm tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

VD: Đường trung tuyến AM = 3cm thì khoảng cách từ trọng tâm G đến đỉnh A = ⅔ độ dài của AM = 2cm.

Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác là gì?

Công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác được ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ Oxy là phương pháp toán học giúp xác định vị trí điểm trọng tâm của tam giác đó. Để tính tọa độ trọng tâm, chúng ta thực hiện bước lấy trung bình cộng của các tọa độ x và y của ba đỉnh tam giác.

Để cụ thể hơn, để tính tọa độ x của trọng tâm, ta lấy trung bình cộng của các tọa độ x của ba đỉnh tam giác. Đối với tọa độ y của trọng tâm, ta sử dụng trung bình cộng của các tọa độ y tương ứng.

Cho ví dụ, để tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC với đỉnh A(x1, y1), B(x2, y2) và C(x3, y3), chúng ta sử dụng các công thức sau đây:

• Tọa độ x trọng tâm = (x1 + x2 + x3) / 3
• Tọa độ y trọng tâm = (y1 + y2 + y3) / 3

Qua ví dụ, với tam giác ABC có các đỉnh A(1, 2), B(4, 6) và C(7, 3), chúng ta có:

• Tọa độ x trọng tâm = (1 + 4 + 7) / 3 = 4
• Tọa độ y trọng tâm = (2 + 6 + 3) / 3 = 3.67 (làm tròn đến hai chữ số thập phân)

Nhờ vào công thức này, ta có thể dễ dàng tính toán tọa độ trọng tâm của bất kỳ tam giác nào trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bài tập về trọng tâm tam giác

Bài tập 1

Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Chứng minh rằng hai tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = ½ BC = BI = CI.

Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.

Bài tập 3

Cho tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm. BG cắt AC tạo M, CG cắt AB tại N. Chứng minh:

• a. BM = CN
• b. BN = AN = CM = AM

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm.

Theo tính chất của đường trung trực tam giác cân, AG là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này.

Suy ra, AG vuông góc với BC.

Bên cạnh đó còn có: AB = AC (vì tam giác cân tại A).

Suy ra, BM = CN và BN = AN = CM = AM.

Bài tập 4

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp giải:

• Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
• Áp dụng nhận xét: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền

Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên A M = 1/2BC

BC = √(AB^2 + AC^2) = √( 3^2 + 4^2 ) = 5 cm

=> AM = ½ x 5 = 2.5 cm

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = ⅔ AM = ⅔  * 2.5 = 1.7 cm.

Vậy AG = 1.7 cm.

Bài tập 5

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

• a. Chứng minh tam giác DEI = tam giác DFI.
• b. Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
• c. Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Hướng dẫn giải: ký hiệu: ∆ tam giác; ∠ góc

a. ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung; DE = DF ( ∆DEF cân); IE = IF (DI là trung tuyến) => ∆DEI = ∆DFI 

b. Vì ΔDEI = ΔDFI

=> ∠DIE = ∠DIF

Mà ∠BID + ∠DIF = 180 độ (kề bù)

Nên ∠DIE = ∠DIF = 90 độ

c. I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I => DI^2 = DE^2 − EI^2 (định lí pytago)

=> DI = √144 = 12 cm.

Có thể bạn sẽ quan tâm một số công thức liên quan đến hình tam giác khác:

• Tổng hợp công thức tính chu vi tam giác chính xác nhất
• Các công thức tính diện tích tam giác chính xác nhất

Như vậy Chanh Tươi Review vừa chia sẻ đến bạn những thông tin về điểm trọng tâm của tam giác, cách xác định cũng như các tính chất nổi bật. Chúc bạn thành công ở các bài toán liên quan đến trọng tâm là gì và trọng tâm tam giác là gì nhé!