[GIẢI] Các cách tìm ước chung lớn nhất ƯCLN nhanh nhất

Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất như thế nào? Bội chung nhỏ nhất là gì? Đây là những kiến thức toán học căn bản quan trọng. Theo dõi bài viết hôm nay của Chanh Tươi Review để hiểu rõ về chủ đề này cũng như các giải các bài toán về tìm ước chung, bội chung nhé!

Cách tìm ước chung lớn nhất

Ước là gì? Ước chung là gì?

Trước khi tìm hiểu về ước chung lớn nhất thì bạn cần nắm rõ ước là gì và ước chung là gì.

Ước là gì: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói b chính là ước của a. Tập hợp các ước của a ký hiệu là Ư (a).

Ví dụ: Ư (10) = {1; 2; 5; 10}; Ư (20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Ước chung là gì: Ước chung của hai hay nhiều số chính là các các ước chung của tất cả các số đó. Chẳng hạn, nếu x là ước của số a, đồng thời cũng là ước của số b thì x được gọi là ước chung của a và b. Ký hiệu là ƯC (a, b).

Ví dụ: ƯC (10, 20) = {1; 2; 5; 10}

Ước chung lớn nhất là gì?

Ước chung lớn nhất (ký hiệu là ƯCLN) của hai hay nhiều số là chính là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Trong tiếng Anh, ước chung lớn nhất gọi là greatest common factor (GCF).

• Ký hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Sử dụng lại ví dụ mà Chanh Tươi Review đã sử dụng ở trên. Ư (10) = {1; 2; 5; 10}; Ư (20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20} ta có tập hợp ƯC (10, 20) = {1; 2; 5; 10} => ƯCLN(10, 20) = 10.

Ví dụ khác: Tìm ƯCLN(24, 16, 32)

Ta có:

• Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
• Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}
• Ư(32) = {1; 2; 4; 8; 16; 32}
• ƯC(24, 16, 32) = {1; 2; 4; 8} => ƯCLN(24; 16; 32) = 8

Các cách tìm ước chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số

Đối với bài toán tìm ước chung lớn nhất, bạn có thể áp dụng một trong số các cách tìm ước chung lớn nhất dưới đây.

Cách 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn ra ƯCLN

Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của từng số đó, sau đó tìm ước chung của các số đó và cuối cùng là chọn ra số ước chung lớn nhất. Đây là cách mà mình đã áp dụng ở các ví dụ phía trên.

Thêm một VD khác để bạn dễ hình dung hơn nhé!

Ví dụ: Tìm ước chung của số 6 và số 12.

Bước 1: Tìm ra ước lần lượt của số 6 và số 12.

• Ta có: Ư (6) = {1; 2; 3; 6}; Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Bước 2: Tìm ra ước chung của số 6 và 12.

• Ta có: ƯC(6, 12) = {1; 2; 3; 6}

Bước 3: Chọn ra số ƯCLN trong số các ước chung.

• Ta có ƯCLN(6, 12) = 6

Cách 2: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bạn lần lượt thực hiện theo các bước sau.

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Lập tích của các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
• Bước 4: Lấy tích đó chính là ƯCLN mà bạn đang phải tìm.

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của số 12 và số 30.

Ta có:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố của số 12 và 30.

• Ta có: 12 = 2 x 2 x 3; 30 = 2 x 3 x 5

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 12 và 30.

• Ta có: Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

• Ta có: 2 x 3 = 6

Bước 4: Lấy tích đó chính là ƯCLN của 12 và 30 mà bạn đang phải tìm.

• Vậy ƯCLN(12, 30) = 6

Cách 3: Cách tìm ước chung lớn nhất bằng bội chung nhỏ nhất (BCNN) (điều kiện a, b khác 0)

Ước chung lớn nhất của a và b có thể tính bằng cách lấy tích của a và b chia cho bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b.

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của số 12 và 30.

(Lưu ý: Cách tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất đã được mình hướng dẫn chi tiết ở phần dưới của bài viết. Bạn có thể xem chi tiết phía dưới để thực hiện cách tìm ước chung lớn nhất này dễ dàng hơn nhé!)

Ta cần tìm bội lần lượt của từng số và tìm ra bội chung nhỏ nhất (BCNN).

• B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60,...}
• B(30) = {0; 30; 60,...}

Ta có: BCNN(12,30) = 60

• Ta thực hiện phép tính lấy tích của các số cần tìm chia cho BCNN. Cụ thể (12.30):60 = 6.
• Như vậy, ta có ƯCLN(12,30) = 6

Cách 4: Sử dụng thuật toán Ơclit

Thực hiện cách tìm ước chung lớn nhất của 2 số a và b sử dụng định lý Ơclit, bạn làm theo các bước dưới đây.

Bước 1: Lấy số lớn chia cho số nhỏ. Giả sử a > b, ta có phép tính (1) a:b

• Trường hợp 1: Nếu kết quả phép chia nguyên, không dư => ƯCLN(a, b) = b.
• Trường hợp 2: Nếu kết quả phép tính chia có số dư, bạn lấy số chia chia cho số dư. Thực hiện lặp lại cho đến khi số dư = 0.

Bước 3: Khi phép chia cuối cùng có số dư = 0, => số chia cuối cùng chính là ƯCLN(a, b).

Nhằm giúp bạn đọc dễ dàng hình dung hơn, mình đưa ra một ví dụ dưới đây:

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của 123 và 456.

Ta có:

• Bước 1: Lấy số lớn 456 chia cho số nhỏ 123.
• Bước 2: Kết quả phép chia có dư 87. Ta lấy số chia là 123 chia tiếp cho số dư là 87. Kết quả vẫn có số dư 36, tiếp tục lấy số chia 87 chia cho số dư 36,… Thực hiện lặp đi lặp lại đến cuối cùng số chia 6 chia cho số dư 3 được kết quả số nguyên không dư.
• Bước 3: Khi số dư = 0, ta lấy số dư cuối cùng 3 chính là ƯCLN. Như vậy: ƯCLN(123, 456) = 3.

Cách 5: Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X

Bạn có thể thao tác nhanh trên máy tính cầm tay CASIO fx-580VN X. Tính năng/ phím “GCD” cho phép chúng ta tìm ước chung lớn nhất của hai số a, b một cách nhanh chóng và chính xác.

Bạn thực hiện các bước sau đây (tham khảo hướng dẫn trong ảnh): Tìm ước chung lớn nhất của 123 và 456.

Những lưu ý khi tìm ước chung lớn nhất

Trong trường hợp nếu trong các số đã cho cần tìm ƯCLN có 1 số = 1 thì ước chung lớn nhất của các số đó chính bằng 1.

• Ví dụ: ƯCLN(1; 55; 95) = 1

Nếu các số đã cho mà không có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của số đó là 1.

• Ví dụ: Số 5 và 8 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(5, 8) = 1

Hai hay nhiều số có ước chung lớn nhất bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.

• Ví dụ: ƯCLN (6, 35) = 1 nên 6 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ước chung lớn nhất của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

• Ví dụ: 5 đều là ước của 5 và 15 nên ƯCLN(5, 15) = 5

Giải bài tập về tìm ước chung lớn nhất

Dạng bài 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước

Đây là dạng bài tập đơn giản nhất trong bài tập tìm ước chung lớn nhất. Đề bài sẽ cho cụ thể 2 hoặc nhiều hơn các số và yêu cầu bạn đi tìm ra số ƯCLN.

Đối với dạng này, bạn chọn một trong số 5 cách tìm mà mình đã hướng dẫn ở trên để tìm ra số cần tìm đó.

VD:

• Tìm ước chung lớn nhất của các số 3, 6, 30. => ƯCLN(3, 6, 30) = 3.
• Tìm ước chung lớn nhất của 5, 100. ƯCLN(5, 100) = 5.
• Tìm ƯCLN(30, 60). ƯCLN(30, 60) = 30.

Dạng bài 2: Tìm các số thành phần khi biết ƯCLN hoặc các điều kiện khác.

Ví dụ: : Tìm các ước chung của 12 và 30 thông qua tìm ƯCLN của 2 số này.

Ta có: 12 = 2 x 2 x 3; 30 = 2 x 3 x 5

Vậy ƯCLN(12, 30) = 2 x 3 = 6.

Áp dụng mối quan hệ giữa ước, ước chung và ƯCLN. Ta có ƯC(12, 30) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

Dạng bài 3: Bài toán có lời giải

Ví dụ: Một hình chữ nhất có chiều dài 150m, chiều rộng 90m, được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh vuông lớn nhất trong cách chia trên? (số đo cạnh là số tự nhiên với đơn vị là m)

Đáp án:

Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông phải là ước chung của 150 và 90. Do đó, độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN (90; 150) = 30.

Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 30m

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất là gì?

Bội chug nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b] hoặc BCNN(a,b).

Một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu 1 trong 2 số cần tìm =1 thì BCNN chính là số còn lại. => BCNN(a, 1) = a
• Nếu 1 trong 3 số hoặc nhiều hơn cần tìm =1 thì BCNN chính là BCNN của các số còn lại. => BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Dưới đây là ví dụ cụ thể:

• BCNN(5, 1) = 5
• BCNN (3, 9, 1) = BCNN(3, 9)

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Để tìm BCNN(a, b, c, …) bạn thực hiện lần lượt như sau.

• Bước 1: Phân tích các số thành thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Bắt đầu lựa chọn những thừa số nguyên tố chung và riêng.
• Bước 3: Lập tích những thừa số nguyên tố đã tìm được ở bước 2, mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ lớn nhất và tích đó chính là BCNN cần tìm.

Dưới đây là ví dụ cụ thể: Tìm BCNN(8, 18, 30)

Bước 1: bạn cần phân tích 3 số trên thành thừa số nguyên tố. Cụ thể:

• 8 = 2³
• 18 = 2 × 3²
• 30 =  2 × 3 × 5

Bước 2: Tiến hành chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng, tương ứng sẽ là 2, 3 và 5. Lúc này, số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ của 3 là 2 và 5 sẽ là 1.

• Bước 3: Lúc này tích của những số đó sẽ là BCNN của 8, 18, 30 sẽ là 2³ × 3² × 5 = 360 => BCNN(8, 18, 30) = 360.

Chú ý:

• Trường hợp nếu số đã cho từng là 1 cặp số nguyên tố cùng nhau, lúc này BCNN chính là tích của những số đó. Ví dụ: BCNN(5, 7, 8) = 5 × 7 × 8 = 280
• Trường hợp những số đã cho, nếu số lớn nhất chính là bội của số còn lại, lúc này BCNN chính là số lớn nhất đó. Ví dụ: BCNN(12, 16, 48) = 48
• Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b
• Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ về cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Ví dụ 1: Tìm BCNN(20, 54)

Giải: Ta phân tích ra thừa số nguyên tố:

• 20 = 2² x 5
• 54 = 2 x 3³
• BCNN(20x 54)= 2² x 3³ x 5 = 540

Ví dụ 2: Biết số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 học sinh. Khi tập thể dục giữa giờ thì xếp thành các hàng có số học sinh bằng nhau thì thấy xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 21 hàng đều vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Giải: Ta phân tích ra thừa số nguyên tố: 12 = 2² x3 ; 15=3 x 5; 21 = 3 x 7

BCNN (12, 15. 21) = 2² x 3 x 5 x 7 = 420

BC(12, 15, 21) chính là bội của BCNN(12, 15, 21)

⇒ BC(12, 15, 21) = B(420) = {0; 420; 840,.....}

Số học sinh 400 ≤ X ≤ 450

⇒ Số học sinh là 420 học sinh.

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18.

Giải:

• a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18 nên a là bội chung của 15 và 18 .
• a lại là số nhỏ nhất khác 0 nên suy ra: a là BCNN(15, 18) = 90.

Bạn có thể xem thêm một số nội dung toán học khác:

• Số thập phân là gì? Cấu tạo và cách đọc số thập phân?

Trên đây Chanh Tươi Review đã chia sẻ đến bạn khái niệm và cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 2 hoặc nhiều số theo nhiều cách. Chúc bạn thành công!